text:
CZĘŚĆ PIERWSZA.

TEORYA DZIAŁAŃ.

La science arithmétique se développe à la façon d’un arbre dont chaque branche donne naissance à plusieurs branches qui à leur tour se divisent et se ramifient à l’infini.

J. Delboeuf.

* * *

LICZBY CAŁKOWITE.

* * *

8. DZIAŁANIA PROSTE.

Wiemy już, że liczby całkowite stanowią fundament Arytmetyki i że prowadzi do nich abstrakcya z dostrzeganéj wielości przedmiotów.

Przedmioty, zjawiska dostrzegane, lub odpowiadające im akty myśli nazywamy: pierwszym, drugim, trzecim, i t. d.

Każdemu z dostrzeżonych przedmiotów odpowiada pewien liczebnik porządkowy; inaczéj mówiąc, przedmioty, przez nas dostrzeżone i odróżnione, odpowiadają kolejno wyrazom szeregu:

pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, .

.

.

.

Szereg tych wyrazów zastąpić można.

szeregiem innych przedmiotów lub znaków w ten sposób, aby każdemu przedmiotowi z pierwszego szeregu odpowiadał jeden przedmiot lub znak z drugiego szeregu, i odwrotnie, aby każdemu przedmiotowi z drugiego szeregu odpowiadał jeden przedmiot z pierwszego.

Podobne przystosowywanie czyli odwzorowywanie wzajemne dwóch szeregów przedmiotów stanowi nie tylko podstawę liczenia, ale jest źródłem wielu ważnych metod matematycznych, o których w téj książce mówić będziemy.

Jeżeli z wyrazów szeregu

pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, .

.

.

.

utworzymy szeregi:

pierwszy,

pierwszy, drugi,

pierwszy, drugi, trzeci,

pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,..., n - y,

to do każdego takiego szeregu będziemy mogli przydzielić liczbę, a mianowicie, do pierwszego szeregu liczbę jeden, do drugiego liczbę dwa, .

.

.

do ostatniego liczbę n. Przy tworzeniu liczby umysł wykonywa syntezę aktów myśli, odpowiadnjących każdemu z powyższych szeregów: do dziedziny nazw lub dziedziny przedmiotów dodaje coś nowego, a mianowicie szereg form matematycznych.

Formy te odtąd służyć mają za szereg zasadniczy, z którym porównywać będziemy zawsze jakiekolwiek szeregi przedmiotów, podległych naszemu spostrzeganiu [1].

Liczba, otrzymana z syntezy aktów, o jakich mówimy, uważa się za liczbę przedmiotów badanego przez nas szeregu.

Licząc przedmioty, t. j. dając każdemu z nich nazwę, wziętą z szeregu liczebników porządkowych, przez to samo przedmioty te porządkujemy.

Jeżeli zmienimy porządek przedmiotów, t. j. przestawimy je w sposób dowolny, i następnie porównamy z szeregiem liczebników porządkowych tak, aby kolejnym przedmiotom przypadły znowu nazwy pierwszy, drugi, trzeci..., to oczywiście ostatniemu przedmiotowi, bez względu na poczynione przestawienia, odpowie taż sama nazwa, która odpowiadała ostatniemu przedmiotowi w poprzedniem uporządkowaniu.

Liczba przeto, odpowiadająca szeregowi po przestawieniu, będzie taka sama, jak liczba, odpowiadająca mu przed przestawieniem; liczba przedmiotów nie ulega zmianie, czyli, wyrażając się słowami Kroneckera, liczba jest niezmiennikiem danego szeregu przedmiotów [2].

Liczba w tém znaczeniu, to jest liczba całkowita, zastępuje przy liczeniu liczebniki porządkowe, zamiast więc nazywać przedmioty pierwszym, drugim, trzecim,..., liczymy: jeden, dwa, trzy...

Przy liczeniu w ten sposób nie tylko oznaczamy każdy przedmiot, ale jednocześnie wykonywamy syntezę aktów myśli, odpowiadających każdemu z przedmiotów, to jest określamy ów niezmiennik, ową formę matematyczną, która pozostaje niezmienną przy dowolném przestawianiu przedmiotów liczonych.

[Na nazwę tego niezmiennika język niemiecki posiada wyraz “Anzahl„, gdy wyraz “Zahl„ używa się w znaczeniu ogólném, a więc nie tylko dla liczb całkowitych, ale i ułamkowych, ujemnych i t. d.

I my w tém samem znaczeniu używamy wyrazu “liczba„, dla oznaczenia zaś pojęcia “Anzahl„ najwłaściwszym byłby wyraz “ilość„.

Lecz upowszechniło się w naszym języku naukowym używanie wyrazu ilość, raz w znaczeniu logiczném, w przeciwstawieniu do wyrazu jakość, drugi raz do oznaczania wogóle liczb jakichkolwiek, a nawet do oznaczania wielkości.

Dla niewywołania więc zamieszania w języku naukowym, dla wyrażenia pojęcia “Anzahl„ używać będziemy wyrażenia “liczba całkowita„ lub, gdy nie zachodzi obawa dwuznaczności, wyrazu liczba; mówić téż będziemy o wielości, mnogości lub 'rozmaitości przedmiotów, nadającéj się do przedstawienia za pomocą liczby].

Szereg liczb:

jeden, dwa, trzy, cztery, ...

lub w znakach:

1, 2, 3, 4, .

.

.

wystarcza do liczenia jakiegokolwiek szeregu przedmiotów, ale posiada on jeszcze inne ważne zastosowania, które zaraz przedstawimy.

Niechaj będą dwa szeregi przedmiotów, nazwijmy je A i B. Każdy z tych szeregów możemy liczyć oddzielnie, nazywając przedmioty szeregu A kolejno: pierwszym, drugim, trzecim, ..., n1-ym, przedmioty szeregu B, nazywając także kolejno: pierwszym, drugim, trzecim, ..., n2-ym.

Wyobraźmy sobie teraz szereg liczb całkowitych

1.

1, 2, 3, 4, .

.

.

.

.

i przystosujmy do niego liczebniki porządkowe z poprzednich dwóch szeregów w ten sposób, aby liczbom szeregu 1. odpowiadały po kolei i bez przerwy liczebniki pierwszy, drugi, trzeci, ..., n1-y, pierwszy, drugi, trzeci, ..., n2-y, wtedy ostatniemu przedmiotowi szeregu B odpowie liczba szeregu 1., którą nazywamy sumą liczb n1 i n2 i oznaczamy przez n1 + n2.

Liczba n1 + n2 w odniesieniu do dwóch danych szeregów A i B oznacza, że jeżeli przedmioty obu szeregów wyobrazimy sobie, jako stanowiące szereg jeden, w którym idą przedmioty najprzód szeregu A, a następnie szeregu B, to, bez względu na porządek przedmiotów w każdym z szeregów danych, liczba, odpowiadająca temu jednemu szeregowi złożonemu, będzie n1 + n2.

Jeżeli znowu do szeregu 1. przystosujemy w sposób wyżej opisany najprzód liczebniki porządkowe pierwszy, drugi, trzeci, ..., n2-y, odpowiadające szeregowi A, następnie liczebniki porządkowe, pierwszy, drugi, trzeci, ..., n1-y, odpowiadające szeregowi B, to dojdziemy do pewnej liczby, która będzie sumą liczb n2 i n1, a którą wedle przyjętego znakowania przedstawiamy za pomocą n2 + n1.

Liczba ta wyraża oczywiście, że jeżeli wyobrazimy sobie przedmioty obu szeregów, jako stanowiące szereg jeden, w którym najprzód idą przedmioty szeregu B, a następnie przedmioty szeregu A, to, bez względu na porządek przedmiotów w każdym z szeregów danych, liczba, odpowiadająca temu jednemu szeregowi złożonemu, będzie n2 + n1.

Działanie, za pomocą którego otrzymaliśmy liczbę n1 + n2 lub n2 + n1 nazywa się dodawaniem.

Jest oczywistém — i oczywistość ta niezależnie od poglądu na źródła naszego poznania, musi być uważana za założenie zasadnicze teoryi działań, — że liczba n2 + n1, do któréj doszliśmy przy drugiém liczeniu, jest tą samą liczbą szeregu 1., jaką jest liczba n1 + n2, do któréj doszliśmy przy pierwszém liczeniu, co wyrażamy w ten sposób:

2. n1 + n2 = n2 + n1.

Prawo to nazywa się prawem przemienności dodawania [commutativ Law].

Wzór 2., wyrażający to prawo w przypadku dwóch składników, z łatwością może być rozszerzony do jakiéjkolwiek [skończonej] liczby składników, jeżeli znaczenie dodawania trzech i więcéj liczb za pomocą określenia ustalimy.

Prawo to wyrazić można ogólnie za pomocą; wzoru

n1 + n2 + .

.

.

+ nr = nα + nβ + .

.

.

+ nρ,

gdzie α, β, ..., ρ stanowi jakąkolwiek przemianę szeregu 1, 2, ..., r.

Z poprzedzającego wnieść można, że dodawanie dwóch [i więcéj liczb] jest tylko uogólnieniem liczenia.

W dodawaniu zestawiamy szeregi przedmiotów, z których każdemu odpowiada jedna z liczb szeregu 1., w liczeniu zaś te szeregi składają się każdy z jednego przedmiotu, któremu w szeregu 1. odpowiada pierwszy wyraz.

Jeżeli liczbę, odpowiadającą takiemu pojedyńczemu przedmiotowi, nazwiemy jednością, to liczenie będzie można nazwać dodawaniem jedności.

Widzimy zarazem: 1. że gdy idzie o dodawanie i wogóle o działania na liczbach całkowitych, wszystkie przedmioty liczone, bez względu na różnice, jakie pomiędzy niemi istnieć mogą, zamieniają się w procesie liczenia wszystkie na jedności, wszystkie zatém stają się równemi.

2. że każdą liczbę szeregu 1. wyrazić można jako sumę liczby, bezpośrednio przed nią się znajdującéj, i jedności, czyli, liczbą szeregu 1., bezpośrednio następującą po liczbie n, jest n + 1.

Z prawa przemienności 2. wynika

3. n + 1 = 1 + n.

Jeżelibyśmy wzór 3. stanowiący przypadek szczególny wzoru 2., przyjęli za założenie zasadnicze, to z niego i przy pomocy określenia

4. n1 + (n2 + 1) = (n1 + n2) + 1,

moglibyśmy wyprowadzić tak wzór 2. jako też i wszystkie własności dodawania.

Wzór 4. stanowi przypadek szczególny ogólniejszego wzoru

5. n1 + (n2 + n3) = (n1 + n2) + n3,

wyrażającego prawo łączności [associative Law] dodawania.

Prawo to określa właśnie sumę trzech składników: jedna i druga strona wzoru 5. oznacza sumę trzech liczb n1 + n2 + n3.

Prawo to rozciąga się na jakąkolwiek [skończoną] liczbę składników.

Łącząc prawo przemienności i łączności w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do dodania ilekolwiek liczb n1, n2, ..., nr, możemy otrzymać sumę ich, łącząc którekolwiek i ilekolwiek z nich w sumę cząstkową, z pozostałych liczb łącząc znów którekolwiek i ilekolwiek w drugą sumę cząstkową i t.

d., póki nie wyczerpiemy wszystkich składników danych, i dodając następnie sumy cząstkowe w dowolnym porządku[3].

Jeżeli pojedyńcze składniki sumy n1 + n2 + .

.

.

+ nr są wszystkie równe jednéj liczbie n, wtedy dodawanie przechodzi w mnożenie, suma zaś n1 + n2 + .

.

.

+ nr = n + n + .

.

.

+ n przyjmuje nazwę iloczynu liczb n i r i oznacza się przez nr.

Liczba nr jest niezmiennikiem, odpowiadającym szeregowi utworzonemu ze złączenia r szeregów, z których każdy zawiera po n przedmiotów.

Jeżeli w tym szeregu złożonym zmienimy ustawienie przedmiotów w ten sposób, aby najprzód stały obok siebie wszystkie przedmioty, które w szeregach danych były pierwszemi, następnie wszystkie, które były drugiemi i t.

d., wreszcie wszystkie, które były ostatniemi, to dojdziemy tym sposobem do liczby rn.

Ponieważ liczba przedmiotów nie uległa zmianie, a zatém

6. n r = r n.

Wzór ten wyraża prawo przemienności mnożenia dla przypadku dwóch czynników.

Jeżeli określimy mnożenie trzech [i więcéj] czynników za pomocą wzoru

7. n1(n2n3) = (n1n2)n3,

wyrażającego prawo łączności, przyczém pierwsza i druga strona wzoru 7. wyrażają iloczyn n1 n2 n3, to na zasadzie tego określenia będzie można wzór 6. rozszerzyć na dowolną [skończoną] liczbę czynników t. j. napisać ogólnie

nα nβ .

.

.

nρ = n1 n2 .

.

.

nr

gdzie α, β, .

.

.

, ρ oznacza jakąkolwiek przemianę szeregu 1, 2, ..., r.

Łącząc prawo przemienności i łączności mnożenia w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do mnożenia ilekolwiek liczb n1 n2 .

.

, nr, możemy otrzymać iloczyn ich, tworząc z którychkol- i ilukolwiek z nich iloczyn cząstkowy, z pozostałych ilukolwiek tworząc drugi iloczyn cząstkowy i t. d. póki nie wyczerpiemy wszystkich czynników, i mnożąc następnie przez siebie iloczyny cząstkowe w jakimkolwiek porządku.

Oprócz przemienności i łączności mnożenie liczb całkowitych posiada jeszcze jedną ważną własność, nazwaną prawem rozdzielności [distributive Law][4], które wyraża się wzorami

8. (n1 + n2)n3 = n1n3 + n2n3

n3(n1 + n2) = n3n1 + n3n2

Pierwszy z tych wzorów daje się dowieść przez rozkład iloczynu po prawéj stronie na sumę n3 równych składników, a następnie przez odpowiednie uporządkowanie tych składników, drugi zaś wynika z pierwszego przy zastosowaniu prawa przemienności.

Jeżeli czynniki iloczynu n1 n2,...,nr są wszystkie równe jednéj liczbie n, wtedy mnożenie przechodzi w potęgowanie albo podnoszenie do potęgi, iloczyn zaś n1 n2 ... nr = n n ... n przyjmuje nazwę r-éj potęgi liczby n i oznacza się przez nr.

Liczba n nazywa się podstawą potęgi, liczba r jéj wykładnikiem.

Potęgowanie nie jest przemienném ani łączném, gdyż

nr jest wogóle różne od rn

oraz

n(rs) „ „ „ „ (nr)s,

posiada natomiast własności wyrażone wzorami

9. nr + s = nr ns

nrs = (nr)s

(mn)r = mrnr,

odpowiadające prawu rozdzielności mnożenia; właściwie tylko, ostatni z wzorów 9. wyraża ściśle tę własność, która łączy potęgowanie z mnożeniem w podobny sposób, w jaki wzory 8. łączą mnożenie z dodawaniem.

Pierwsze dwa wzory 9., nie mające analogicznych sobie w dodawaniu i mnożeniu, wyrażają charakterystyczne własności potęgowania[5].

9. DZIAŁANIA ODWROTNE.

Opisane wyżéj działania: dodawanie, mnożenie i potęgowanie nazywają się działaniami prostemi; w przeciwstawieniu do nich cztery następujące nazywają się działaniami odwrotnemi.

[Działania proste nazywa Hankel tetycznemi — thetische Operationen, odwrotne — litycznemi, lytische Operationen].

Odejmowanie jest to działanie odwrotne względem dodawania; jest to takie działanie, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu

1. x - n2 = n1.

Liczba x nazywa się różnicą liczb n1 i n2 i oznacza się przez n1 - n2.

Kładąc za x to wyrażenie w równaniu 1., otrzymujemy 2. (n1 - n2) + n2 = n1.

Wzór 2. może być uważany za określenie różnicy lub odejmowania.

Z istoty odejmowania wynika, że jeżeli n1 i n2 są liczbami szeregu 1., że wtedy tylko na x otrzymujemy odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę, znajdującą się w tym szeregu, jeżeli liczba n1 znajduje się w szeregu na prawo od liczby n2, jest od liczby n2 większa.

Jeżeli zaś co do n1 i n2 nie czynimy z góry żadnych zastrzeżeń, wynika potrzeba nadania znaczenia odejmowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia.

To prowadzi do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia zera i liczb ujemnych, przyczém naturalnie równanie 2. służyć winno za określenie nowych liczb.

Tak więc definicya formalna liczb ujemnych jest tożsama z definicyą odejmowania.

Dzielenie jest działaniem odwrotnćm względem mnożenia; jest to działanie, za pomocą, którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu

3. x n2 = n1,

gdzie n1 i n2 są liczbami szeregu 1.

Liczba x oznacza się przez

n1

n2

lub n1/n2

i nazywa się ilorazem.

Kładąc za x to wyrażenie w równaniu 3., otrzymamy równość

4. n1

n2

n2 = n1,

która może być uważana za określenie ilorazu lub dzielenia.

Z istoty dzielenia wynika, że jeżeli n1 i n2 są liczbami szeregu 1, to wtedy tylko otrzymujemy na x odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę zawartą w 1., jeżeli liczba n1 jest wielokrotnością liczby n2.

Jeżeli zaś co do n1 i n2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika wtedy potrzeba nadania znaczenia dzieleniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia.

To prowadzi do nowego rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia liczb ułamkowych, przyczém naturalnie równość 4. winna służyć za ich określenie.

Tak więc definicya formalna liczb ułamkowych zawartą jest w definicyi dzielenia.

Z przyczyny prawa przemienności, stosującego się do dodawania i mnożenia, każdemu z tych działań odpowiada jedno działanie odwrotne, tymczasem potęgowaniu, które przemienném nie jest odpowiadają dwa działanie odwrotne, a mianowicie pierwiastkowanie [właściwie: wyciąganie pierwiastka] i logarytmowanie.

5. xn2 = n1

Liczba x czyli podstawa potęgi otrzymuje nazwę pierwiastka [pierwiastka n2-ego lub pierwiastka n2-éj potęgi] i oznacza się w ten sposób:

x = n2√n1

Jeżeli to oznaczenie wprowadzimy do równania 5., otrzymamy wzór

6. (n2√n1)n2 = n1

który można uważać za określenie pierwiastka i pierwiastkowania.

Jeżeli n1 i n2 są liczbami calkowitemi, to na x wtedy tylko otrzymujemy odpowiedź w szeregu 1., gdy liczba n1 jest potęgą zupełną t. j. iloczynem n2 równych czynników; IV przeciwnym razie odpowiedź nie może zawierać się w szeregu 1.

Jeżeli więc co do n1 i n2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika stąd potrzeba nadania znaczenia pierwiastkowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia.

To prowadzi nas znowu do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do tworzenia liczb niewymiernych, przyczém równanie 6. może służyć za formalne ich określenie.

Równanie 5. stanowi przypadek szczególny równania algebraicznego ogólnego, to też liczby niewymierne, określone formalnie za pomocą takiego równania, zawierają się w pojęciu ogólnlejszém liczb algebraicznych.

7. n2x = n1.

Liczba x nazywa się logarytmem liczby n1 przy podstawie n2 i oznacza się w ten sposób:

Wstawiając to oznaczenie w 7., otrzymujemy równość

8. n2logn2n1 = n1,

który może być uważany za określenie logarytmu i logarytmowania.

Jeżeli n1 i n2 są liczbami szeregu 1., to na x otrzymujemy tylko wtedy liczbę szeregu 1., jeżeli n1 równa się liczbie n2 lub jakiéjkolwiek potędze [z wykładnikiem będącym liczbą szeregu 1.] liczby n2.

Jeżeli więc co do n1 i n2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, wynika potrzeba nadania logarytmowaniu znaczenia w przypadku, w którym warunek powyższy nie spełnia się.

To prowadzi do nowego uogólnienia pojęcia liczby, do tworzenia liczb przestępnych [transcendentalnych].

Ponieważ równanie 7. stanowi tylko jedną z postaci, jaką przybierać mogą równania przestępne, więc definicya formalna, zawarta we wzorze 8., daje tylko specyalną klasę liczb przestępnych, klasę logarytmów.

Z dotychczasowego przedstawienia widać jasno: że proces liczenia, podnosząc się na coraz wyższe stopnie, prowadzi do trzech działań prostych: dodawania, mnożenia i potęgowania; odwrócenie zaś zagadnienia zawartego w działaniach prostych, prowadzi do czterech nowych działań: odejmowania, dzielenia, pierwiastkowania i logarytmowania, i zarazem wywołuje potrzebę rozszerzenia dziedziny pierwotnéj, zawartéj w szeregu 1.

Odwrócenie zagadnień, zawartych w działaniach prostych, jest myślą twórczą, która stwarza nowe dziedziny badania.

Przekonamy się niejednokrotnie, że ten sam pomysł w innych gałęziach Matematyki, a głównie w teoryi funkcyj eliptycznych i hypereliptycznych, stal się podstawą znakomitych odkryć i uogólnień.

W uważanym obecnie przypadku mamy do czynienia z zagadnieniami najprostszemi, bo z najprostszemi połączeniami liczb, wchodzącemi do uważanych działań.

Przy połączeniach bardziéj złożonych, utworzonych z rozmaitych kombinacyj powyższych działań, dochodzimy naturalnie do zagadnień odwrotnych ogólniejszych, i dlatego podane przez nas wyżéj nowe dziedziny liczb nie wyczerpują całej rozmaitości nowych form liczbowych, do jakich prowadzą działania matematyczne.

Z siedmiu opisanych działań, cztery, a mianowicie dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, nazywamy działaniami zasadniczemi albo arytmetycznemi dla tego, że stanowią one przedmiot Arytmetyki elementarnéj, która obejmuje dziedziny liczb całkowitych i ułamkowych, z wyłączeniem [dla względów dydaktycznych] dziedziny liczb ujemnych, uwzględnianéj dopiero w Algebrze elementarnéj.

Dołączając do powyższych czterech działań jeszcze podoszenie do potęg całkowitych i wyciąganie pierwiastków o wykładniku całkowitym, otrzymamy sześć działań elementarnych, stanowiących podstawę działań algebraicznych.

Zawarta w tym i w poprzedzającym artykule teorya działań zawiera tylko zarys ogólny, w którym, opierając się na szeregu podstawowym 1., podaliśmy zasadnicze własności działań, ich związki wzajemne i wskazaliśmy źródło, z którego pochodzi potrzeba rozszerzenia pierwotnej dziedziny liczb całkowitych oraz znaczenia działań.

Pozostają atoli do rozstrzygnięcia pytania ważne, a mianowicie, w jaki sposób wskazane uogólnienia urzeczywistnić, czyli innemi słowy, jakie własności nadać nowym formom; czy i w jaki sposób rozszerzenia, wskazane w różnych kierunkach, to jest z różnych pochodzące działań, łączą się ze sobą w jednę organiczną całość, wreszcie jaką rozmaitość form wydają kombinacye działań?

Czytelnik przewiduje, że w tych pytaniach mieszczą się doniosłe zagadnienia nauki o liczbach.

Zanim wszakże do rozwiązania tych pytań przejdziemy, musimy jeszcze raz zastanowić się nad wyłożonemi wyżéj prawami, określającemi własności działań zasadniczych, i, wziąwszy je za punkt wyjścia, zbadać konsekwencye, do jakich prowadzą.

Stanowić to będzie przedmiot następującego rozdziału o teoryi działań formalnych, w któréj formy, podległe działaniu, będziemy uważali w caléj ogólności, nie przywiązując do nich zgóry charakteru liczb całkowitych[6].

10. LICZBY NADSKOŃCZONE.

Rozważania nad naturą liczb, podane w art. poprzedzającym, można uogólnić, zakładając, że mnogość przedmiotów, z której za pomocą abstrakcyi dobywamy pojęcie liczby, jest nieskończoną.

O nieskończonéj mnogości przedmiotów nie może nas przekonać doświadczenie: w nieskończoności widzimy przedewszystkiém tę własność zasadniczą, jaką posiada szereg liczb całkowitych.

1.

1, 2, 3, 4 .

.

.

n, n + 1,....

w którym od każdego dowolnie wielkiego wyrazu n możemy przejść do następującego n + 1 w taki sam sposób, w jaki przechodzimy np. od 1 do 2.

W tém posuwaniu się coraz dalszém w szeregu naszym nie napotykamy żadnej przeszkody, żadnej sprzeczności z prawami logicznego myślenia.

Podobnie rzecz się ma nietylko z szeregiem 1., ale i z wielu innemi szeregami np. z szeregiem liczb parzystych:

2, 4, 6, .

.

.

.

,

z szeregiem liczb nieparzystych:

1, 3, 4, .

.

.

.

,

1

1

, 1

2

, 1

3

, 1

4

.

.

.

Takich przykładów w dziedzinie badań matematycznych napotkamy wiele w ciągu dalszego wykładu.

Ta własność szeregu 1. i innych podobnych “urzeczowiona„, że tak powiemy, lub przeniesiona do dziedziny przedmiotów, stanowi o nieskończoności rozmaitości lub mnogości.

[Pojęciem nieskończoności i rozmaitemi jego odmianami, tak ważnemi w Matematyce, zajmiemy się szczegółowo w tomie drugim; tu idzie nam głównie o wyprowadzenie pojęcia liczb nadskończonych, mających charakter liczb całkowitych].

Jeżeli powiemy, że liczba wyrazów szeregu 1. lub liczba elementów pewnéj mnogości jest nieskończoną, to używamy wyrazu liczba w znaczeniu rozszerzoném.

Liczba każda, odpowiadająca skończonéj mnogości przedmiotów, jest zupełnie oznaczoną, i możemy od niéj za pomocą skończonéj liczby działań elementarnych cofnąć się do pierwszego wyrazu szeregu; tego samego nie możemy wszakże powiedzieć o liczbie nieskończonéj, bo odejmując od niéj kolejno po jedności, nie dojdziemy po skończonéj liczbie działań do żadnéj liczby określonéj.

Wyrażenie przeto “liczba nieskończona„ jeżeli nazwę liczby chcemy tu zachować, oznacza liczbę, znajdującą się na kresie procesu myśli, wytwarzającego szereg 1.; pojęcie jéj jest pojęciem graniczném, w którém proces ten, jakkolwiek wyobrażalny tylko w znaczeniu dowolnego przedłużenia, uważamy za wyczerpany; nieskończoność jest tu niejako gotową, urobioną w pewną formę, jest nieskończonością, jak ją nazywa Cantor, “bezwzględną„ lub właściwą, aktualną; jest liczbą po za wszelką liczbą skończoną, lub, inaczéj mówiąc, jest pierwszą liczbą nadskończoną (transfinite Zahl) całkowitą ω.

Liczba ta stanowić może początek nowéj rozmaitości liczb, w taki sam sposób, w jaki liczba 1 stanowi początek szeregu liczb całkowitych skończonych.

Następujące po ω liczby nadskończone będą

ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, .

.

.

Jeżeli do tego szeregu zastosujemy ten sam proces myśli, jaki stosowaliśmy do szeregu 1., dojdziemy do liczby 2ω, po któréj następują

2ω + 1, 2ω + 2, 2ω + 3, 2ω + 4 .

.

.

Proces, prowadzący od liczby, zawartéj w którymkolwiek z powyższych szeregów, do liczb innych w tymże szeregu, nazywa Cantor pierwszą zasadą tworzenia liczb; proces zaś, prowadzący od liczby ω do 2ω, nazywa drugą zasadą.

Skombinowane zastosowanie obu zasad tworzenia prowadzi do kolejnych szeregów

3ω, 3ω + 1, 3ω + 2, 3ω + 3, .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

μω, μω + 1, μω + 2, μω + 3, .

.

.

po których znów dalszy proces daje nam liczby

λω² + μω + ν

i ogólniéj liczby postaci

ν0ωμ + ν1ωμ-1 + .

.

.

+ νμ - 1ω + νμ.

Lecz i tu proces tworzenia liczb nie kończy się, bo prowadzi do liczb nadskończonych

ωω

i t. p.

Tworzeniu liczb nadskończonych w dalszym ciągu nic nie staje na przeszkodzie; zdaje się, wszakże, że proces ten gubi się w głębiach nieskończoności, nie prowadząc do ściśle określonych dziedzin badania.

Tak jednak nie jest, jeżeli przy tworzeniu nowych liczb uwzględnimy warunek, nazwany przez Cantora trzecią zasadą, zasadą regulującą [Hemmungs oder Beschränkungsprincip], którą zaraz przedstawimy.

Uczynimy tu uwagę, że teorya Cantora podlega ogólnéj zasadzie zachowania, którą: przedstawiliśmy we wstępie [str. 27-32].

Zasadę regulującą stanowi właśnie zastosowanie pojęcia niezmiennika danéj mnogości nieskończonej, podobnego do pojęcia niezmiennika, stosującego się do mnogości skończonych.

Niezmiennik ten, który Cantor nazwał najprzód mocą (potęgą, Mächtigkeit, puissance), a później liczbą kardynalną, danéj mnogości odpowiadającą, powstaje przy pomocy téj samej abstrakcyi, przez którą w mnogości skończonej dochodzimy do pojęcia liczby skończonéj.

Jeżeli mianowicie w danej rozmaitości albo mnogości M, składającéj się z oznaczonych i dobrze wyróżnionych przedmiotów konkretnych lub z pojęć abstrakcyjnych, które nazwiemy elementami mnogości, odwrócimy uwagę tak od natury elementów jako też od ich porządku, to dojdziemy do określonego pojęcia ogólnego [universale], który można nazwać mocą mnogości M, albo odpowiadającą jéj liczbą, kardynalną.

To ogólne określenie liczby kardynalnéj obejmuje w sobie pojęcie liczby skończonéj i nadskończonéj; dają się z niego wyprowadzić, jak to pokazujemy w przypisach, ogólne prawa działań, odnoszące się do jednych i drugich, jako też różnice, charakteryzujące oba rodzaje liczb.

Prócz pojęcia liczb kardynalnych utworzył jeszcze Cantor pojęcie typów lub liczb porządkowych, nazwanych tak dla tego, że w procesie abstrakcyjnym, o którym mowa wyżéj, nie odwracamy już uwagi od porządku elementów[7].

Przypisy

↑ O szeregu tym mówi Kerry, Ueber Auschauung i t. d. [l.

c., str. 324], że jest wielością miarową przyrodzoną [uatürliche Massvielheit] do mierzenia wszystkich innych wielości, podobnie jak nasze oko, nasze ucho, nasze organa dotyku, nasza pamięć są przyrodzonemi wzorcami do mierzenia długości.

O pojęciu liczby całkowitéj traktuje obszernie Frege w pracy, Die Grundlagen der Arithmetik, eine logisch-mathematische Untersnchung über den Begriff der Zahl, 1884.

↑ Kronecker, Ueber den Zahlbegriff... l. c. str. 342.

↑ Suma złożona z dwóch liczb może być utworzona 2 sposobami, z trzech liczb — 18-ma, z czterech — 264-ma, z pięciu — 5400-ma, z szeciu 141840-ma sposobami.

Toż samo stosuje się i do mnożenia.

↑ Nazwy praw przemienności, łączności i rozdzielności podajemy w nawiasach po angielsku dlatego, że one rozpowszechniły się najwcześniéj w literaturze angielskiéj, jakkolwiek pierwszy i trzeci termin wprowadził do nauki prawdopodobnie Servois w r. 1814.

Porówn.

Hankel, Ueber die complexen Zahlensysteme str. 3.

↑ Powtórzenie potęgowania prowadzi do działań a

a a

a a

a .

a .

.

.

.

i t. d.

które uważają niektórzy za nowe działanie, za “czwarty stopień„ działań.

Wszakże działanie to jest małego użytku i mało zbadane.

Porówn. artykuł E. Schultzego, Die vierte Rechenstufe [Archiv der Mathematik und Physik, 2 ser.

IX, zeszyt 3, 1890, str. 320-326].

↑ Wroński [Introduction, str 6. i 7.] dzieli działania, opisane w art. 8 i 9., które [za wyłączeniem logarytmowania] nazywa algorytmami pierwotnemi, na trzy klasy, z których każda znowu dzieli się na dwie gałęzie prostą [progressive] i odwrotną [regressive].

Podział ten przedstawia następująca tabliczka: Sumowanie

[Sommation] proste: Dodawanie.

odwrotne: Odejmowanie.

Reprodukcya

[Reproduction] proste: Mnożenie.

odwrotne: Dzielenie.

Stopniowanie

[Graduation] proste: Potęgowanie.

odwrotne: Pierwistkowanie.

Reprodukcyą uważa Wroński za algorytm pośredni między sumowaniem i stopniowaniem, algorytmy zaś pierwotne sumowania i stopniowania nazywa “biegunami intelektualnemi„ poznania w zastosowaniu do form algorytmicznych.

W sumowaniu części wielkości uważa za przerywane, mające charakter agregatów [per juxta positionem], w sumowaniu za ciągłe, w pewnéj mierze za intensywne i mające charakter wielkości wzrastających [per intus susceptionem].

Te dwie funkcye mają, według niego, każda swoje prawa specyalne; są one zupełnie różnorodne i niepodobna jednéj z nich wyprowadzić z drugiéj.

Pierwsza jest opartą na prawach budujących rozsądku [lois constitutives de l’entendement], druga na prawach regulujących rozumu [lois régulatives de la raison].

Neutralizacya tych dwóch funkcyj intelektualnych daje funkcyą pośrednią, a mianowicie algorytm reprodukcyi, który z metafizycznego punktu widzenia odnosi do zdolności sądzenia [faculté du jugement].

↑ Dajemy tu krótki wykład teoryi liczb kardynalnych i porządkowych, opierając się głównie na dwóch pracach Cantora: Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, 1883 i Zur Lehre vom Transtiniten Erste Abtheilung, 1890.

Porówn. także artykuły tegoż w Acta Mathematica, II.

1883.

Dwie oznaczone mnogości M i M1 nazywają się równoważnemi, co wyrażamy przez M ~ M1 jeżeli można je przyporządkować wzajemnie tak, aby każdemu elementowi pierwszéj odpowiadał jeden oznaczony element drugiéj, i odwrotnie.

Jeżeli M ~ M1 i M1 ~ M2, to wynika stąd, że M ~ M2.

Przykłady.

Mnogość barw tęczowych [czerwona, pomarańczowa, żółta, zielona, błękitna, niebieska, fioletowa] i mnogość tonów gamy [C, D, E, F, G, A, H] są mnogościami równoważnemi: obie podchodzą pod pojęcie ogólne siedm.

Mnogość palców obu rąk i mnogość punktów w tak nazwanym trójkącie arytmetycznym ·

· ·

· · ·

· · · ·

są równoważne.

Liczbą kardynalną, im odpowiadającą, jest dziesięć.

Mnogość nieskończona (ν) wszystkich liczb całkowitych szeregu 1. [str. 55.] jest równoważna: mnogości wszystkich liczb parzystych, mnogości wszystkich liczb nieparzystych. mnogości (μ + νi) wszystkich liczb zespolonych całkowitych μ + νi, gdzie μ i ν przyjmują niezależnie od siebie wszystkie wartości całkowite.

Wszystkie te mnogości są znów równoważne mnogości (μ

ν

) wszystkich liczb rzeczywistych μ

ν

, gdzie μ i ν są.

liczbami względnie pierwszemi, nawet mnogość wszystkich liczb algebraicznych jest równoważna każdéj z powyższych mnogości.

[Porówn. art. 14.].

Oznacza to, że wszystkie nieskończone mnogości, o których tu mowa, można przystosować do szeregu 1. w sposób, wyżéj podany.

Przeciwnie, mnogości wszystkich liczb rzeczywistych [t. j. liczb wymiernych, niewymiernych, algebraicznych i przestępnych], jak tego dowiódł Cantor, Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, LXXVII, 1874, str. 258], nie jest równoważną mnogości (ν).

[Możemy też wspomnieć tu o ważném twierdzeniu Cantora, że rozmaitość n-wymiarowa ciągła, uważana jako rozmaitość punktów jest równoważna continuum linearnemu.

[Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre Journ. f. die reine u. ang. Mathem.

LXXXIV.

1878, str. 242.].

Z poprzedzającego wynika, że mnogości równoważne mają moc albo liczbę kardynalną równą i że naodwrót mnogości o równej liczbie kardynalnéj są równe.

Jeżeli więc M ~ M1, to M ~ M1 i odwrotnie.

Tu przez M i M1 oznaczamy liczby kardynalne.

Jeżeli dwie dane mnogości nie są równoważne, to musi zachodzić jeden z dwóch następujących przypadków: 1-o można z N wydzielić część składową N′, aby było M ~ N′; 2-o można z M wydzielić część składową M′aby było M′ ~ N.

W pierwszym przypadku mówimy, że M jest mniejsze od N, w drugim: M jest większe od N.

Mnogość, powstałą z połączenia mnogości M i N, — na porządek połączenia nie zwracamy tu uwagi — oznaczamy przez M + N. Jeżeli mamy dwie inne mnogości M′ i N′ tak, że M ~ M′, N ~ N′, to

M + N ~ M′ + N′.

Na tém twierdzeniu opiera się określenie sumy dwóch lub więcéj liczb kardynalnych.

Jeżeli a = M, b = N, to przez a + b rozumiemy taką liczbę kardynalną, która odpowiada mnogości M + N, to jest

a + b = M + N

Prawo przemienności a + b = b + a i prawo łączności a + (b + c) = (a + b) + c wynikają tu wprost z uwagi, że liczby kardynalne już ze względu na sam akt abstrakcyi, przez który powstają, są od porządku elementów niezależne.

Jeżeli M i N są dwie mnogości, to przez M.

N rozumiemy trzecią mnogość, powstającą z mnogości N w ten sposób, że na miejsce każdego pojedyńczego jéj elementu kładziemy mnogość równoważną mnogości M — porządek elementów tu nie ma wpływu.

— Wszystkie mnogości M i N, otrzymane według tego sposobu, są równoważne, a liczba, im odpowiadająca, jest

ab = MN.

Z tego określenia wynikają z łatwością: prawo przemienności ab = ba, prawo łączności a.(b.c) = (ab)c oraz prawo rozdzielności a(b + c) = ab + ac.

Wszystko, co wyżéj powiedziano, odnosi się zarówno do mnogości i liczb skończonych, jako też do liczb i mnogości nieskończonych.

Dla mnogości skończonych można dowieść, że gdy z trzech liczb kardynalnych a, b, c jedna jest równa sumie dwóch drugich np, a + b = c, to liczba c nie może być równa żadnemu ze składników.

Jeżeli wszakże pominiemy warunek skończoności, to twierdzenie to przestaje być prawdziwém, i w tém tkwi, jak twierdzi Cantor, głęboka i istotna różnica pomiędzy liczbami skończonemi i nadskończonemi.

Dla liczb nadskończonych stosują się twierdzenia

a + ν = a, a.ν = a, aν.

= a

gdzie ν jest liczbą skończoną, a zaś liczbą nadskończoną.

Oprócz pojęcia liczby kardynalnej wprowadza Cantor do swojéj teoryi pojęcie liczby porządkowej [Ordnungszahl], które rozwija w najnowszéj swojéj wyżéj cytowanéj pracy.

Aby pojęcie to uzasadnić, trzeba najprzód poznać, co Cantor rozumie przez pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj.

Mnogością dobrze uporządkowaną nazywamy każdą określoną mnogość któréj elementy są związane z sobą pewném z góry określoném prawem następstwa, według którego pewien element mnogości jest pierwszym, po nim [o ile on nie jest ostatnim] następuje określony drugi, i wogóle po każdej skończonej lub nieskończonej mnogości elementów następuje element rozmaitości zupełnie określony.

O takich rozmaitościach czyli mnogościach mówić można, że są odliczalnemi [abzählbar] jedna na drugiéj.

Takiemi rozmaitościami są np.

(a, a′, a″) i (b, b′, b″)

(a, a′, a″) .

.

.

a(ν) .

.

.) i (b, b′, b″ .

.

.

b(ν) .

.

.)

(a, a′, a″ .

.

.

a(ν) .

.

c, c′, c″) i (b, b′, b″ .

.

.

b(ν) .

.

.

d, d′, d″)

Pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj daje się uogólnić w sposób następujący:

Wyobrażamy sobie, że mnogość dobrze uporządkowana składa się z elementów E, E′, E″ .

.

., które są uporządkowane w n różnych niezależnych kierunkach [bierzemy tu pojęcie kierunku w znaczeniu ogólniejszém od geometrycznego].

Nazwijmy te kierunki 1-ym, 2-gim,... ν-ym,... a samą mnogość nazwijmy n-krotnie uporządkowaną.

Wprowadźmy następujące oznaczenia: Jeżeli E i E′ są jakiekolwiek dwa elementy mnogości M, to pomiędzy niemi w każdym z n kierunków istnieje określony stosunek położenia [ein bestimmtes Rangverhältniss], do oznaczenia którego użyjmy znaków <, =, >, Jeżeli ν jest jedna z liczb 1, 2, 3, .

.

.

n, to w kierunku ν-ym zachodzi jeden z trzech przypadków

E < E′, E = E′, E > E′.

Dla rozmaitych kierunków stosunek ten może być taki sam, jak dla kierunku ν, lub różny.

Jeżeli E, E′, E″ są jakiekolwiek trzy elementy rozmaitości M i jeżeli w kierunku ν-ym zachodzą związki

E ≤ E′ i E ≤ E″.

to w tym samym ν-ym kierunku musi być

E ≦ E″,

przyczém równość zachodzi w ostatnim związku tylko wtedy, jeżeli zachodzi jednocześnie w obu związkach poprzednich.

Przy takiém założeniu, dana n-krotna rozmaitość albo mnogość nazywa się uporządkowaną w n kierunkach porządkowych 1, 2, 3, .

n-ym.

Jako przykłady podobnych rozmaitości służyć mogą: trójkrotnie uporządkowana mnogość punktów w przestrzeni odnośnie do układu trzech osi prostokątnych; dwukrotnie uporządkowana mnogość punktów płaszczyzny odnośnie do układu dwóch osi prostokątnych; utwór muzyczny [melodya, symfonia i t.

p.], będący mnogością tonów czterokrotnie uporządkowaną ze względu na następstwo tonów w czasie, ich trwanie, wysokość i natężenie, i t. d.

Jeżeli w takiej oznaczonej n-krotnie uporządkowanéj mnogości M odwrócimy uwagę od istoty elementów, przy zachowaniu związków ich położenia w n różnych kierunkach, powstanie w nas obraz intelektualny, pojęcie ogólne, które Cantor nazywa typem porządkowym [Ordnungstypus] albo też liczbą idealną, odnoszącą się do danéj mnogości [tych liczb idealnych nie należy mieszać z liczbami idealnemi Kummera, o których mówić będziemy w części drugiéj niniejszego tomu] i oznacza ją przez M.

Pojedyńczym elementom E, E′, E″ mnogości M odpowiadają w jéj typie porządkowym M same jedności e = 1, e′ = 1, e″ = 1 .

.

., które różnią się tylko wzajemném położeniem w M; ich związki są takie same, jak związki pomiędzy elementami mnogości M.

Tym sposobem n-krotny typ porządkowy jest niejako liczbą całkowitą n-wymiarową, jest organiczném skupieniem jedności, uporządkowanych w n różnych kierunkach.

Typ porządkowy nazywa Cantor czystym, jeżeli każde dwie jedności tego typu e i e′ mają przynajmniéj w jednym z n kierunków położenie różne; w przeciwnym razie typ nazywa mieszanym.

W typie mieszanym jedności łączą się w oznaczone grupy, tak, że jedności, należące do jednéj i téj samej grupy, mają we wszystkich kierunkach położenie jednakowe i zlewają się w jednę liczbę kardynalną, gdy jedności, należące do grup różnych, przynajmniej w jednym z n-kierunków mają położenie różne.

Typ mieszany powstaje z oznaczonego typu czystego, jeżeli w tym ostatnim zamiast jedności podstawimy pewne liczby kardynalne.

Dwie mnogości M i N, n-krotne uporządkowane, nazywają się podobnemi, jeżeli można je wzajemnie przyporządkować w ten sposób, aby, gdy E i E′ są dwoma elementami pierwszej mnogości, F i F′ — odpowiedniemi elementami drugiéj, to dla ν = 1, 2, 3 .

.

.

n położenie elementu E względem E′ w kierunku ν-ym jest w rozmaitości M takie same, jak położenie F względem F′ wewnątrz rozmaitości N. Podobieństwo takich dwóch mnogości oznaczać będziemy przez

M ≅ N.

Dwie n-krotnie uporządkowane mnogości mają wtedy i tylko wtedy jeden typ porządkowy, jeżeli są podobne, i odwrotnie.

Jest tedy

M = V, jeżeli M ≅ N

i odwrotnie

M ≅ N, jeżeli M = V.

Typem porządkowym danéj mnogości n-krotnej M jest więc to pojęcie ogólne, pod które podpadają mnogość M i wszystkie jéj podobne.

Z podobieństwa mnogości M i N wynika ich równoważność; odwrotnie wszakże, z równoważności dwóch mnogości nie można wogóle wnosić o ich podobieństwie.

Możemy przeto wypowiedzieć twierdzenie.

Jeżelidwie mnogości dobrze uporządkowane mają ten sam typ porządkowy, to mają i jednę liczbę kardynalną; t. j. jeżeli M = N, to M = N.

Tak więc liczba kardynalna czyli moc mnogości M jest jednocześnie liczbą kardynalną jéj typu porządkowego M i powstaje z tego ostatniego, jeżeli oderwiemy uwagę od położenia jego jedności.

Jeżeli α jest znakiem dla typu porządkowego M, to α jest znakiem dla liczby kardynalnéj M.

Stosownie do tego, czy liczba kardynalna mnogości jest skończoną lub nadskończoną, i samą mnogość oraz jej typ porządkowy nazywamy skończonym lub nadskończonym.

Typ n-krotny α składa się z pewnych jedności e, e′, e″ .

.

.

, mających oznaczone położenie w n kierunkach.

Jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko pewną część tych jedności, to określi ona pewien typ γ, który można uważać za część “przygotowaną„ [możliwą, virtuell] typu α.

Każdy typ α składa się z takich typów przygotowanych γ, γ′, γ″ .

.

.

, które w części znajdują się jeden zewnątrz drugiego, w części zachodzą wzajem na siebie.

Rozpatrzmy działania elementarne, wykonalne na dwóch takich typach α i β.

Wyobraźmy sobie dwie mnogości M i N o typach M = α i N = β i utwórzmy z nich nową uporządkowaną mnogość M + N pod następującemi warunkami.

Elementy M niechaj mają wewnątrz M + N to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w M, podobnież elementy mnogości N niechaj mają w M + N względem siebie to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w N, wreszcie niechaj w M + N wszystkie elementy mnogości N mają w każdym z n kierunków położenie wyższe od wszystkich elementów mnogości N. Wszystkie mnogości M + N, czyniące zadość tym warunkom, są oczywiście mnogościami n-krotnie uporządkowanemi i podobnemi, i określają ten typ, który nazywamy α + β.

Mamy więc

α + β = M + N,

gdzie α nazwijmy dla odróżnienia składnikiem pierwszym [augendus], β składnikiem drugim [addendus].

Stąd wynika łatwo stosowalność prawa łączności

α + (β + γ) = (α + β) + γ.

Prawo przemienności w ogólności się nie stosuje, gdyż α + β i β + α są różnemi typami.

Zauważmy jeszcze, że liczba kardynalna sumy α + β równa się sumie liczb kardynalnych odpowiadających typom α i β,

α + β = α + β.

Dla otrzymania iloczynu α .

β, wyobraźmy sobie mnogość n o typie β, tak że N = β, i oznaczmy elementy, z których składa się N, przez F1, F2, .

.

.

Fλ .

.

.

Niechaj daléj M1, M2, .

.

.

Mλ będą mnogości typu α, tak że M1 = M2 .

.

.

= Mλ = ...

= α.

Odwzorujmy wzajemnie te mnogości, tak że

E1,1, E1,2 .

.

.

E1,μ .

.

.

.

.

będą elementami mnogości M1,

E2,1, E2,2 .

.

.

E2,μ .

.

.

.

.

„ „ „ M2,

E1,μ, E2,μ .

.

.

Eλ,μ [μ = 1, 2 .

.

.] są odpowiadejącemi sobie

elementami mnogości M1, M2, .

.

.

Mλ .

.

.

Utwórzmy nową mnogość MN z mnogości N w ten sposób, że w miejsce elementów F1, F2 .

.

.

Fλnbsp;.

.

.

podstawiamy odpowiednio M1, M2 .

.

.

Mλnbsp;.

.

., przyczem wzajemność położenia podlegać ma następującym warunkom: Wszystkie elementy Eλμ, Eλμ′ jednéj i téj saméj mnogości Mλ mają wewnątrz MN zachować względem siebie to samo położenie, jakie miały w Mλ; dla dwóch elementów Eχ,μ, Eλ,μ′ należących do różnych mnogości Mχ i Mλ należy przyjąć następujące rozróżnienie: 1.)

Jeżeli Fχ i Fλ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie różne, to wzajemne położenie elementów Eχ,μ, Eλ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być to samo, jakiém jest położenie elementów Fχ i Fλ w rozmaitości N w kierunku ν-ym; 2.)

Jeżeli Fχ i Fλ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie jednakowe, to położenie Eχ,μ względem Eχ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być takie, jak położenie Eχ,μ względem Eχ′,μ′ wewnątrz Mχ, albo, co na jedno wychodzi, jakiém jest położenie Eχμ względem Eλ,μ′ wewnątrz Mλ w kierunku ν-ym.

Wszystkie mnogości MN, utworzone według tego przepisu, są podobne, iloczyn zaś, im odpowiadający, αβ określa się w ten sposób:

α .

β = MN

gdzie α nazywamy czynnikiem pierwszym [mnożną], β - czynnikiem drugim [mnożnikiem].

Stosuje się tu prawo łączności

α . (β .

γ) = (α .

β)γ,

gdy tymczasem α .

β jest w ogóle różne od β .

α.

Prawo rozdzielności

α . (β + γ) = α .

β + α .

γ

ma tu miejsce.

Liczba kardynalna iloczynu dwóch typów równa się iloczynowi liczb kardynalnych czynników, t. j.

αβ = α .

β.

Z danym typem n-krotnym α związane są ściśle inne typy, które nazywamy sprzężonemi.

Można wzajemność położenia właściwą typowi α przemienić w ten sposób, że położenia wzajemne jedności e, e′, e″ .

.

.

w kierunkach μ-ym i ν-ym przestawiają się, w innych zaś kierunkach pozostają bez zmiany.

Takich przekształceń, które nazwać można przestawieniami ze względu na kierunki μ-y i ν-y, jest oczywiście n(n - 1)/2, a wszystkie one, kolejno stosowane, dają wraz z typem danym wogóle 1.2.

.

.

n typów sprzężonych.

Jeżeli odmienimy typ α przez to, że odwrócimy położenie jedności w jednym ν-ym kierunku, t. j. jeżeli położenie jedności e i e′ w nowym typie będzie takiém, jakiém było położenie jedności e′ i e w typie dawnym, to przekształcenie takie nazwać można odwróceniem.

Takich odwróceń jest n, a kolejne ich stosowanie daje wraz z typem danym 2n typów różnych.

Wszystkich typów różnych sprzężonych z danym będzie zatem wogóle 2.n .

1 .

2 .

.

.

n.

Cantor zajmuje się jeszcze zagadnieniem o oznaczeniu liczby wszystkich typów porządkowych danéj liczby m, po rozwiązanie którego odsyłamy czytelnika do drugiej z cytowanych prac lub do rozprawy H. C. Schwartza, Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen, 1888.

Teorya Cantora, któréj zarys przedstawiliśmy, zawiera w sobie cenne zadatki przyszłego rozwoju.

Pomysły w niéj tkwiące, stosował Cantor już wcześniéj do badania rozmaitości punktowych [mówić o nich będziemy w tomie drugim], gdzie doszedł do wyników bardzo ważnych dla teoryi funkcyj.

Nauka już teraz z tych pomysłów czerpie pożytek, przedewszystkiém zaś wpłynęły one na pogłębienie i udokładnienie badań analitycznych.


corpora: wikisources-pl

text:
Asswerus v.

Asswer, w hebr.

Ahaszwérosz; 70 Ἀσσούηροζ; Tob.

14, 15.

Ἀσύηροζ; na pomnikach klino-pismowych (ob.)

Khsyarsa, zkąd grec.

Ξέρξηζ (Xerxes); imię biblijne niektórych królów perskich, ma być honorowym przydomkiem, znaczącym: król-lew.

1.

A's, którego Daniel 9, 1. nazywa ojcem Darjusza (ob.), prawdopodobnie jest Astjages, ojciec Cyaxaresa II († 536), ostatniego króla z dynastji Medów.

70 nazywają go Artaxerxesem.

Lecz Daniel, wzięty do niewoli ok. 593 r., musiałby żyć sto kilkadziesiąt lat, aby doczekał się Artaxerxesa I (od 465), a zresztą w 1, 21. i 6, 28. mówi sam, że był tylko do Cyrusa.

Naszém zdaniem o tym samym Assw. mówi księga Esthery (ob.).

Porówn.

Darjusz.

— 2.

Assw.

I Esdr.

4, 6. do którego pisali Samarytanie (ob.), usiłując przeszkodzić budowie świątyni, prawdopodobnie był Kambyzes (529—522), lub jaki samozwaniec z owych czasów.

Samarytanie bowiem pisali już po śmierci Cyrusa († 529, po nim nastąpił Kambyzes), a odpowiedzi nie otrzymawszy, napisali drugi raz do Arataxerxesa[1] (pseudo Smerdysa).

Artaxerxes ten zabronił odbudowywać tylko miasto; ale nieprzyjaciele żydów pod tym pozorem przeszkadzali odbudowywaniu świątyni.

W skutek czego, mówi I Esdr.

4, 24. przerwaną została praca około świątyni, aż do drugiego roku Darjusza, zatém do r. 521.

Cf. I Esdr. r. 6.

Ów Assw. przeto musiał żyć między Cyrusem i Darjuszem, t. j.

w czasie, w którym inni historycy mieszczą Kambyzesa i pseudo Smerdysa.

X. W. K.


corpora: CEN

text:
Porozumienie, które zawarła Grecja z UE i MFW w sprawie pomocy finansowej dla kraju wymaga od Greków wielkich poświęceń i było konieczne, aby uniknąć katastrofy - mówił dziś na nadzwyczajnym posiedzeniu rządu Grecji premier Jeorios Andreas Papandreu.

"Dzisiaj wchodzi w życie zawarte w sobotę wieczorem porozumienie.

Zgodnie z tymi ustaleniami obywatele poniosą wielkie wyrzeczenia i to nie jest przyjemna decyzja" - powiedział Papandreu.

"Są to poświęcenia ogromne, lecz konieczne, bez których Grecja zbankrutuje, a uniknięcie bankructwa to nasza czerwoną linia" - dodał.

Cięcia mają oszczędzić sektor prywatny i dotyczyć pracowników i emerytów sektora publicznego.

Wprowadzone zostaną nowe podatki, zmniejszone wydatki na obronę.

Premier Papandreu nie podał sumy pomocy od Funduszu i krajów strefy euro oferowanej w zamian za cięcia budżetowe, lecz powiedział, że jest ona "bez precedensu na poziomie światowym".

Spotkanie ministrów finansów państw euro odbędzie się o godzinie 16 w Brukseli.

W zamian za działania oszczędnościowe Grecji obiecano pomoc w wysokości 120 mld euro na przestrzeni trzech lat.

Związki zawodowe w Grecji zapowiadają na środę strajk generalny z powodu cięć płac i emerytur.

Grecja nie jest już w stanie finansować swojego długu na rynkach, poprosiła więc w piątek UE i MFW o wsparcie finansowe.

Rząd w Atenach podkreśla, że pomoc musi otrzymać nie później niż 19 maja, gdyż wówczas wymagalne staną się obligacje, których wykup będzie kosztował 9 mld euro.


text:
Chorągiew.

Oddział jazdy, liczący zwykle od 100 do 200 koni, a będący jednostką taktyczną w organizacji wojska, nazywano w czasach jagiellońskich, a może i dawniej, rotą.

Gdy jednak za Zygmunta III zamieniono dawną polską organizację piechoty na zagraniczną czyli na autorament cudzoziemski i zaczęto rzędy piechurów nazywać rotami, jazda zmieniła nazwę roty na chorągiew, ponieważ każda jej rota miała swój oddzielny proporzec czyli chorągiew, a jak dziś nazywają - sztandar.

Odtąd mówiono: służyć w chorągwi, jechać do chorągwi, zaciągać (werbować) chorągiew i t. d.

Chorągwie bywały nadworne królewskie, Rzeczypospolitej i nadworne panów polskich.

Prawie bowiem wszyscy magnaci polscy własnym kosztem utrzymywali mniejsze lub większe oddziały jazdy, które nosiły nazwę ich chorągwi nadwornych i czasu wojny wysyłane były w obronie kraju, a zwykle strzegły włości pańskich od napadu Tatarów, towarzyszyły panu w podróży, służyły do parady, a nieraz i wojny domowej.

W starej broszurze p. t.

„Światowa roskosz" czytamy, jak „żołnierze dworscy paradę czyniąc, powdziewawszy na siebie lamparty, piórno, świetno, ogromno, złotymi błyskali szyszakami, a sępimi skrzydły powiewali, mając takowe do ramion przymocowane dla okazałości i przestraszenia ich chrzęstem nieprzyjaciół w boju.

Brzmiały trąby i kotły.

Obok nich stało kozactwa stado, ubrane w przestronne giermaki, trzymając napięte łuki i migocąc zawieszonymi na barkach pozłocistymi sajdakami.

Tym surmacze nucili wojnopamiętne dumy ruskie.

Za nimi stała piechota w błękitnej barwie, porządkowana przez dziesiętników, z wysokimi dardami (oszczepami).

W środku nich bębnista bił w głośny bęben, który łagodziły towarzyszące mu multanki.

Nad wszystkimi przy wrzawie i odgłosach wojennych powiewała chorągiew dworska, wijąc się od wiatru jako wąż".

Przy wjeździe do Krakowa Henryka Walezjusza wiedli Maciejowscy 200 nadwornej konnicy z tarczami i sępiemi skrzydłami, wojewoda bracławski 200 koni po kozacku z sajdakami złocistymi, Dulski wojewoda pruski 36 kozaków w pancerzach pozłocistych.

Komorowski kasztelan miał swej piechoty do tysiąca.

Ze szlachty mieli słudzy Rejów tarcze z białymi łabędziami, a na piersiach łabędzi były lilje białe.

W wieku XVIII chorągwią - powiada p. B. Gembarzewski - nazywano oddział jazdy.

Szwadron dzielił się na chorągwie czyli kompanje.

W roku 1775 brygada kawalerji narodowej I Dzierżka składała się z 6 szwadronów, każdy złożony z 4-ch kompanii, czyli chorągwi.

„Regulamin exercerunku dla regimentów kawalerji", wydany r. 1775 dla dragonów, tak określa skład chorągwi: „3 officjerów, 6 unter-officjerów, 1 trębacz, 1 konnował albo feldscher, 52 dragonów, koni prócz officjerskich 60.

Przy każdej chorągwi jeden woźnica i 4 konie do powiantowego wozu są wyznaczone".

(O chorągwi w znaczeniu sztandaru ob.

Proporzec).


text:
Biczownicy (Flagellantes).

Bicz, dyscyplina, albo rózga, narzędzia kary u Rzymian, stały się narzędziem pokuty u chrześcjan.

O użyciu biczowania w tém znaczeniu ob.

Umartwienie.

Tutaj mówimy o stowarzyszeniu biczowników, inafczaj flagellatores, flagellarii zwanych, którzy od miasta do miasta szli procesjonalnie, zwykle obnażeni do pasa, często z głową zasłoniętą dla niepoznania, z dyscypliną w ręku, lub obwiązanym w około pasa biczem, złożonym z 3 łub 4 rzemyków skórzanych, zakończonych kuleczkami, lub ostremi końcami żelaznemi.

Chorągiew lub krzyż poprzedzał ten orszak, którego przewodnik postępował na czele, często otoczony zakonnikami i innemi osobami.

Wszyscy biczownicy nosili krzyże czerwone, wyszyte na kapeluszach lub na odzieniu, zkąd nazywano ich także krzyżowcami, cruciferi, crucifratres.

Wzywali wiernych do połączenia się z ich orszakiem, a tłumy wzrastały niekiedy do tysiąca osób.

Każdy biczownik był obowiązany przebyć w towarzystwie 33 albo 34 dni.

na pamiątkę lat życia Zbawiciela.

Przybywszy do kościoła, lub na plac jakikolwiek, padali na ziemię (pozycją ciała, w jakiej padali na ziemię, oznaczali gatunek grzechu, do którego się poczuwali: jedni na brzuch, inni na grzbiet i t. p. Chron.

Thuring.), chociażby błotem lub śniegiem pokrytą, wyciągali ręce i biczowali się po grzbiecie dotąd, dopóki się nie skończył śpiew hymnu, nieraz bardzo długiego, którego treścią zwykle była męka lub śmierć Chrystusa Pana.

Następnie podnosili do nieba swoje ręce skrwawione, błagając o łaskę i miłosierdzie Zbawiciela i jego Matki, z jękiem i ze łzami.

Publicznie biczowali się dwa razy na dzień, prywatnie w nocy trzeci raz.

Pierwsze stowarzyszenie biczowników ukazało się w Perugia r. 1260; Włochy były zalane występkami, rodziny i gminy były w niezgodzie, kraj pustoszony skutkiem wojny gwelfów i gibelinów (ob.).

Ludzie dręczeni wyrzutami sumienia, przygnębieni nędzą, pragnęli odpokutować za swoje występki, a w bolesném swém położeniu i gorącém pragnieniu pokuty, wymyślili ten osobliwy środek ćwiczenia swojego ciała, aż do krwi, publicznie i zbiorowo.

Tym sposobem tłumaczy się zwyczajne wrażenie, jakie sprawiali ci pokutnicy na pierwsze ukazanie się swoje: widziano pomiędzy nimi nawet pięcioletnie dzieci.

Najbardziej zatwardziałe serca miękczyły się, najzawziętsi wrogowie pojednywali się, otwierały się więzienia, śpiewy wesołe i dźwięki muzyki cichły w obec publicznej boleści.

Jednakże biskupi i panujący opierali się tu i owdzie, jak np. w Bawarji, w Czechach, w Morawji, w Austrji, w Polsce (gdzie pojawili się poraz pierwszy 1261 r.; występował tu przeciwko nim szczególniej Prandota, biskup krak. i Janusz, arcyb.

gnieźnieński.

Cf. Basconis Chron.

p.

74.

Rzepnicki, Vitae praesul I.

59.

Długosz, Hist. pol. I, 765), w Saksonji, we Francji, tego rodzaju stowarzyszeniom, które, na wzór włoskich, potworzyły się albo starały się zainstalować w tych państwach, z okazji jakiejś klęski ogólnej, np. zarazy, głodu.

Spotykały ich tam kary cielesne, a nawet kara śmierci, a nadto i szyderstwo.

Zwyczaj ten też, jakiego nie popierał Kościół, mówi Hermann, opat z Niederaltaich, popadł niebawem w pogardę i zapomnienie.

Przesadzano naówczas aż do śmieszności znaczenie biczowania, przypisując mu szczególniejszą siłę poświęcenia, tak dalece, że biczownicy słuchali spowiedzi i utrzymywali, iż przez swoje umartwienia są w mocy pomnożyć szczęście swoich rodziców i swoich stronników w niebie, albo też osładzać los potępionych w piekle.

Od początku aż do półowy w.

XIV nie było słychać o biczownikach (Schroeckh, Kirchengesch. t.

33. p.

446), dopiero zjawili się na nowo, z chwilą ukazania się czarnej zarazy, do której w wielu okolicach przyłączył się głód i straszliwe burze.

Naówczas powstały znowu te stowarzyszenia pokutników, na wiosnę r. 1349 (Rebdorf i Chron.

Dresden.), w wyższych Niemczech, wzdłuż Renu, w Strasburgu, Spirze, Bonn, gdzie jedna ich procesja zaszła drogę ces. Karolowi IV, w Haynau, we Flandrji, w Niderlandach, w północnych Niemczech, w Szwajcarji, Szwecji i Anglji.

Do Francji mieli oni wzbroniony przystęp, mimo to jednak doszli do Awinjonu, gdzie odbyli procesję i pozyskali względy kilku kardynałów.

Klemens VI, domagał się od książąt i biskupów, aby stanowczo oparli się temu nadużyciu (list jego pisany w tej mierze do arcyb.

magdeb.

i jego suffraganów, jest u Raynalda pod r. 1349), aby aresztowano i karano więzieniem biczowników, mianowicie gdyby to byli mnisi, a Papież zachowywał sobie prawo ostatecznej o ich losie decyzji.

Tegoż samego roku pisał Papież i do biskupów polskich, aby tę sektę z granic swych djecezji wypędzali.

Tłuszcza też ta, powiększej części z zagranicznych przybłędów złożona, nie długo u nas gościła (Kromer, Polonia ed.

Colon p.

212).

W wielu miejscowościach zaczęto już używać przeciwko nim środków repressyjnych: nakładano na nich kary pieniężne, wtrącano do więzienia i t.

p., a wciągu trzech lat niespełna przytłumiono zupełnie ten objaw fanatyzmu.

Klemens VI me odrzucał buzowania w ogóle, uznawał, że ono mogło być pożyteczne, jako ćwiczenie pokutne, w sekret spełniane; ale zakazywał procesji biczowników, które, pod dobrym pozorem sprawowały wiele złego.

Biczownicy rozszerzali mimochodem mnóstwo błędów i zabobonów, jak np., że odkryli w Jerozolimie list Chrystusa Pana, w którym on, mimo złości ludzi, nie zachowujących postu w Piatek, na prośby N. Marji Pan.

obiecał okazać miłosierdzie pokutującym biczownikom („gdyż krew ich z jego krwią była zmieszana“); ogłaszali rychłe przyjście Antychrysta, chełpili się, że mają dar czynienia cudów; dawali sobie wzajemnie rozgrzeszenie, gardzili Kościołem i jego Sakramentami, rozsiewali nienawiść do duchowieństwa, krzywdzili i zabijali żydów.

Przeciwko tym ostatnim powstała powszechna nienawiść, gdyż oskarżono ich o wywołanie zarazy, przez zatrucie studzien.

Żydzi bronili się, zabijali biczowników, nawet niekiedy nie będąc od nich zaczepionymi; tak np., w jedném małém miasteczku, gdzie ich było bardzo dużo, napadli na tłum biczowników z 80 osób złożony, i 14 z nich zabili, oprócz kilku osób z miasta przybyłych na pomoc.

Kiedy biczownicy ukazali się po raz pierwszy, widziano kobiety we Włoszech biczujące się po domach, u siebie; teraz przyłączały się one do procesji, idąc z mniej lub więcej obnażoném nieprzystojnie ciałem, najczęściej z zasłoniętą twarzą; koniec procesji zamykali mężczyźni.

Tym sposobem, mimo nawet niewinnych intencji jednych i drugich, sprawa przybrała w ogólności zły obrót dla wiary i obyczajów (secta contra Deum, et contra formam Ecclesiae, et contra salutem eorum ipsorum tak ją określił uniwersytet paryzki, ob.

Nangii Contin.).

Pomijając pojedyńcze wypadki, o jakich czytamy w Raynaldzie (ad.

an.

1372 n. 33), po raz trzeci napotykamy biczowników około r. 1414 w Turyngji i dolnej Saksonji, t. j. ich nowy gatunek, który często mieszają z bandą rozbójników w tych okolicach, złożoną z włościan, uzbrojonych cepami, zwanemi także, jak bicz i dyscyplina, łacińskim wyrazem flagellum.

Ci nowi biczownicy nie okazywali się tyle publicznie, ale stanowili raczej oddzielne, tajne zgromadzenia.

Błędy ich potępione przez sobór konstancjeński, są daleko złośliwsze, aniżeli ich poprzedników.

Przesadne ich pojęcie wartości biczowania, opierało się także na mniemanym owym liście z nieba, na mocy którego ogłoszone było nowe prawo, symbolizowane w Kanie, przez zamianę wody na wino czerwone.

„Ten chrzest krwi,“ mówili oni, „jest Bogu daleko milszym, aniżeli chrzest z wody, tak samo jak ucztujący na weselu w Kanie uznali, że wino czerwone, otrzymane cudem Chrystusa, było nierównie lepsze od tego, jakie pili przedtém.“ Biczowanie było podług nich szatą godową, pozwalającą godnie zasiadać przy uczcie niebiańskiej, „a krew wytoczona tym sposobem, jest droższą od krwi męczenników, wylanej przez pogan; w połączeniu z modlitwami i postem piątkowym, zastępuje ono wszelkie pokuty i wszystkie Sakramenta.

Biczowanie znosi kapłaństwo N. Zakonu, podobnie jak kapłaństwo starego przymierza upadło, skoro Chrystus biczem wypędził sprzedających i kupujących z kościoła.

Duchowieństwo katolickie, przyczyna wszelkiege[1] złego, podobne jest do kapłana i lewity idących z Jeruzalem do Jericha; gdy tymczasem biczowników przedstawia litościwy samarytanin, dźwigający z wdzięcznością Chrystusa na swoich barkach i oddający mu cześć przez swoje posłuszeństwo i swoją pobożność.“ Gardzili oni kościołami, odrzucali odpusty, pogrzeby kościelne, modły za umarłych, czyściec, cześć świętych i mnogość świąt.

Jednakże przestrzegali pozorów katolickich i celem ukrycia się, dopuszczali się wszelkiego kłamstwa i krzywoprzysięztwa, które wynagradzali biczowaniem (Hardt, Conc.

Const. t.

I p.

86, 127. i Gobelinus Persona).

w Sangerhausen skazano na stos przeszło 100 osób z tej sekty niebezpiecznej, pomiędzy którymi znalazł się i mistrz ich, Konrad Schmid (Faber), który miał posłannictwo sądzenia żywych i umarłych, a sąd ten był już blisko, gdyż Eljasz już się był objawił w nim, Enoch ukazał się w postaci Begarda, przed 50 laty śmiercią ukaranego w Erfurcie.

Sekta długo trwała potajemnie; pochwycono w Sangerhausen i Aschersleben roku 1454 wielką liczbę tych sekciarzy, którzy nie chcieli słuchać o Sakramentach i utrzymywali naukę Schmida: 22 osoby obojga płci, należące do tej bandy, zostały spalone; ci, którzy uznali swoje błędy, otrzymali przebaczenie, lecz musieli nosić suknie wyróżniające ich od innych osób; część pewna ocaliła się ucieczką.

Biczownicy, którzy szli za św. Wincentym Fererjuszem (ob.) musieli być bezwątpienia lepszego gatunku; jednak Gerson radził świętemu, w liście pisanym z Konstancji, do którego słów kilka dołączył Piotr z Ailly, aby zerwał z tymi ludźmi, co też święty uczynił.

Wkrótce Gerson napisał swój traktat przeciwko biczownikom (Opera t. II p. IV p.

628).

„Inne rodzaje pokuty, powiada on, są bardziej zgodne z duchem Ewangelji, aniżeli karcenie ciała, aż do krwi.

Osobliwości podobnego rodzaju czynią człowieka pysznym, a zakonników usposabiają, do wyłamywania się z pod reguły.

Nigdy nie należy też pomijać rady swoich zwierzchników.

Procesje biczowników wiodą za sobą błąd, pogardę kapłanów, pokuty i Sakramentów, zdzierstwa i kradzież, próżniactwo i wszelkiego rodzaju nadużycia, jak tego uczy doświadczenie.“ Biczownicy, jacy w r. 1445 ukazali się w Prusach (Hartknoch.

Preuss.

Kirch.-Historie.) nie mieli zapewne żadnego związku z turyngskimi, ponieważ zyskali sobie szacunek w kraju i używali wszelkiej swobody.

Boku 1501 z Włoch do Niemiec przybyli pokutnicy, odziani ubogo, przechodzący od parafji do parafji, bawiąc w każdej czas jakiś, padali krzyżem na ziemię po kościołach, modląc się, żyli w czystości, dozwalając każdemu przyłączyć się do swego grona, prócz kobiet.

W lat 5 potém nie było ich już śladu.

Tritemjusz jednak, od którego mamy te szczegóły, z jego Kroniki sponheimskiej, nie nadmienia wcale, żeby ci asceci, podobni z wielu względów do biczowników, mieli używać biczowania.

Cf. Raynald, D’Achery: Spicileg, i zbiór kronik niemieckich Oefele’go, Hieronima Pez’a, Meibom’a, Menckena, Freher’a, Struve’go.

( Wetzer).

X. M—i.

Przypisy